Sådan tegner du en kvadratisk ligning: 10 trin (med billeder)

2024 Forfatter: Robert Blare | [email protected]. Sidst ændret: 2024-02-02 02:06

Når den er grafisk, kvadratiske ligninger af formen økse² + bx + c eller a (x - h)² + k give en glat U-formet eller en omvendt U-formet kurve kaldet en parabel. At tegne en kvadratisk ligning er et spørgsmål om at finde dens toppunkt, retning og ofte dens x- og y -aflytninger. I tilfælde af relativt simple kvadratiske ligninger kan det også være nok at tilslutte et område med x -værdier og plotte en kurve baseret på de resulterende punkter. Se trin 1 herunder for at komme i gang.

Trin

Trin 1. Bestem hvilken form for kvadratisk ligning du har

Den kvadratiske ligning kan skrives i tre forskellige former: standardformen, toppunktformen og den kvadratiske form. Du kan bruge begge former til at tegne en kvadratisk ligning; hver graf er en smule anderledes. Hvis du laver et lektieproblem, modtager du normalt problemet i en af disse to former - med andre ord kan du ikke vælge, så det er bedst at forstå begge dele. De to former for kvadratisk ligning er:

• Standard formular.

  I denne form er den kvadratiske ligning skrevet som: f (x) = ax² + bx + c hvor a, b og c er reelle tal og a ikke er lig med nul.

  For eksempel er to standardformkvadratiske ligninger f (x) = x² + 2x + 1 og f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex form.

  I denne form er den kvadratiske ligning skrevet som: f (x) = a (x - h)² + k hvor a, h og k er reelle tal og a ikke er lig med nul. Vertex -form er så navngivet, fordi h og k direkte giver dig toppunktet (centralt punkt) på din parabel ved punktet (h, k).

  To vertex form ligninger er f (x) = 9 (x - 4)² + 18 og -3 (x - 5)² + 1

• For at tegne en af disse typer ligninger skal vi først finde parabelens toppunkt, som er det centrale punkt (h, k) ved kurvens "spids". Koordinaterne for toppunktet i standardform er givet ved: h = -b/2a og k = f (h), mens i toppunktsform er h og k specificeret i ligningen.

Trin 2. Definer dine variabler

For at kunne løse et kvadratisk problem skal variablerne a, b og c (eller a, h og k) normalt defineres. Et gennemsnitligt algebra -problem giver dig en kvadratisk ligning med de udfyldte variabler, normalt i standardform, men nogle gange i toppunktsform.

• For eksempel for standardformelligningen f (x) = 2x² + 16x + 39, vi har a = 2, b = 16 og c = 39.
• For toppunktsformligningen f (x) = 4 (x - 5)² + 12, vi har a = 4, h = 5 og k = 12.

Trin 3. Beregn h

I toppunktsformuleringer er din værdi for h allerede givet, men i standardformuleringer skal den beregnes. Husk, at for standardformuleringer er h = -b/2a.

• I vores standardformulareksempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Løsningen finder vi ud af, at h = - 4.
• I vores vertex -eksempeleksempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ved vi h = 5 uden at lave nogen matematik.

Trin 4. Beregn k

Som med h kendes k allerede i toppunktsformligninger. For standardformuleringer skal du huske, at k = f (h). Med andre ord kan du finde k ved at erstatte hver forekomst af x i din ligning med den værdi, du lige har fundet for h.

• Vi har i vores standardformel bestemt, at h = -4. For at finde k løser vi vores ligning med vores værdi for h, der erstatter x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Trin 7.

• I vores vertex -eksempeleksempel kender vi igen værdien af k (hvilket er 12) uden at skulle lave matematik.

Trin 5. Plot dit toppunkt

Spidsen af din parabel vil være punktet (h, k) - h angiver x -koordinaten, mens k angiver y -koordinaten. Toppunktet er det centrale punkt i din parabel - enten bunden af et "U" eller toppen af et "U" på hovedet. At kende toppunktet er en væsentlig del af at tegne en nøjagtig parabel - ofte i skolearbejde vil angivelse af toppunktet være en påkrævet del af et spørgsmål.

• I vores eksempel på standardform vil vores toppunkt være på (-4, 7). Så vores parabel vil toppe 4 mellemrum til venstre for 0 og 7 mellemrum ovenfor (0, 0). Vi bør plotte dette punkt på vores graf, og sørg for at mærke koordinater.
• I vores vertex -eksempeleksempel er vores toppunkt på (5, 12). Vi skal tegne et punkt 5 mellemrum til højre og 12 mellemrum over (0, 0).

Trin 6. Tegn parabelens akse (valgfrit)

En parabols symmetriakse er linjen, der løber gennem midten, som deler den perfekt i to. På tværs af denne akse vil venstre side af parabolen spejle højre side. Til kvadratik af formen øks² + bx + c eller a (x - h)² + k, aksen er en linje parallel med y-aksen (med andre ord perfekt lodret) og passerer gennem toppunktet.

I tilfælde af vores standardformeleksempel er aksen en linje parallel med y-aksen og passerer gennem punktet (-4, 7). Selvom det ikke er en del af selve parabolen, kan let markering af denne linje på din graf i sidste ende hjælpe dig med at se, hvordan parabolen kurver symmetrisk

Trin 7. Find åbningsretningen

Efter at have fundet ud af toppunktet og aksen for parabolen, skal vi derefter vide, om parabolen åbner opad eller nedad. Heldigvis er det let. Hvis "a" er positiv, åbnes parabolen opad, mens hvis "a" er negativ, åbnes parabolen nedad (dvs. den vendes på hovedet.)

• For vores standardformulareksempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), ved vi, at vi har en parabel, der åbner opad, fordi i vores ligning a = 2 (positiv).
• For vores vertex -eksempeleksempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ved vi, at vi også har en parabel, der åbner opad, fordi a = 4 (positiv).

Trin 8. Find og plot x aflyt om nødvendigt

Ofte bliver du i skolearbejde bedt om at finde en parabelens x-aflytninger (som enten er et eller to punkter, hvor parabolen møder x-aksen). Selvom du ikke finder dem, kan disse to punkter være uvurderlige for at tegne en præcis parabel. Imidlertid har ikke alle paraboler x-aflytninger. Hvis din parabel har et toppunkt, åbner det opad og har et toppunkt over x -aksen, eller hvis det åbner nedad og har et toppunkt under x -aksen, det vil ikke have nogen x aflytninger. Ellers kan du løse dine x -aflytninger med en af følgende metoder:

• Du skal blot indstille f (x) = 0 og løse ligningen. Denne metode kan fungere til simple kvadratiske ligninger, især i toppunktsform, men vil vise sig yderst vanskelig for mere komplicerede. Se et eksempel nedenfor

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 og 13 er parabelens x-aflytninger.

• Faktor din ligning. Nogle ligninger i øksen² + bx + c form kan let indregnes i formen (dx + e) (fx + g), hvor dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, og e × g = c. I dette tilfælde er dine x aflytninger værdierne for x, der gør begge udtryk i parentes = 0. For eksempel:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • I dette tilfælde er dit eneste x -afsnit -1, fordi indstilling x lig med -1 vil gøre et af de faktoriserede udtryk i parentes lig med 0.

• Brug den kvadratiske formel. Hvis du ikke let kan løse dine x -aflytninger eller faktor din ligning, skal du bruge en særlig ligning kaldet kvadratisk formel designet til netop dette formål. Hvis det ikke allerede er det, skal du få din ligning ind i formøksen² + bx + c, sæt derefter a, b og c i formlen x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Bemærk, at dette ofte giver dig to svar på x, hvilket er OK - det betyder bare, at din parabel har to x aflytninger. Se et eksempel nedenfor:

  • -5x² + 1x + 10 tilsluttes kvadratisk formel som følger:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) og (-15,18/-10). Parabelens x aflytninger er på cirka x = - 1.318 og 1.518
  • Vores tidligere standardformulareksempel, 2x² + 16x + 39 tilsluttes kvadratisk formel som følger:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Fordi det er umuligt at finde kvadratroden af et negativt tal, ved vi det ingen x aflytter findes for denne særlige parabel.

Trin 9. Find og plot y -aflytningen, hvis det er nødvendigt

Selvom det ofte ikke er nødvendigt at finde en lignings y -skæringspunkt (det punkt, hvor parabolen passerer gennem y -aksen), kan det i sidste ende være nødvendigt for dig, især hvis du er i skole. Denne proces er temmelig let - sæt bare x = 0, og løs derefter din ligning for f (x) eller y, hvilket giver dig den y -værdi, hvormed din parabel passerer gennem y -aksen. I modsætning til x aflytninger kan standard paraboler kun have en y aflytning. Bemærk - for standardformuleringer er y -afsnittet y = c.

• For eksempel kender vi vores kvadratiske ligning 2x² + 16x + 39 har et y -afsnit ved y = 39, men det kan også findes som følger:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabelens y -afsnit er ved y = 39.

    Som nævnt ovenfor er y -afsnittet ved y = c.

• Vores toppunkt form ligning 4 (x - 5)² + 12 har et y -afsnit, der kan findes som følger:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabelens y -afsnit er ved y = 112.

Trin 10. Plot om nødvendigt yderligere punkter, og graf derefter

Du skal nu have et toppunkt, retning, x skæringspunkt (er) og muligvis et y afsnit for din ligning. På dette tidspunkt kan du enten forsøge at tegne din parabel ved hjælp af de punkter, du har som retningslinje, eller du kan finde flere punkter for at "udfylde" din parabel, så den kurve, du tegner, er mere præcis. Den nemmeste måde at gøre dette på er simpelthen at tilslutte et par x -værdier på hver side af dit toppunkt og derefter plotte disse punkter ved hjælp af de y -værdier, du får. Ofte vil lærere kræve, at du opnår et bestemt antal point, før du tegner din parabel.

• Lad os gense ligningen x² + 2x + 1. Vi ved allerede, at det eneste x afsnit er x = -1. Fordi det kun rører x-aflytningen på et tidspunkt, kan vi udlede, at dets toppunkt er dets x-afsnit, hvilket betyder, at dets toppunkt er (-1, 0). Vi har faktisk kun et point til denne parabel - ikke nær nok til at tegne en god parabel. Lad os finde et par flere for at sikre, at vi tegner en nøjagtig graf.

  • Lad os finde y -værdierne for følgende x -værdier: 0, 1, -2 og -3.
  • For 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Vores pointe er (0, 1).

  • For 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Vores pointe er (1, 4).

  • For -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Vores pointe er (-2, 1).

  • For -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Vores pointe er (-3, 4).

  • Tegn disse punkter på grafen og tegn din U-formede kurve. Bemærk, at parabolen er perfekt symmetrisk - når dine punkter på den ene side af parabolen ligger på hele tal, kan du normalt spare dig selv for noget arbejde ved blot at reflektere et givet punkt hen over parabelens symmetriakse for at finde det tilsvarende punkt på den anden side af parabolen.

Video - Ved at bruge denne service kan nogle oplysninger blive delt med YouTube

Tips

• Bemærk, at i f (x) = ax² + bx + c, hvis b eller c er lig nul, forsvinder disse tal. For eksempel 12x² + 0x + 6 bliver 12x² + 6 fordi 0x er 0.
• Rund tal eller brug brøker, som din algebra -lærer fortæller dig. Dette hjælper dig med at tegne dine kvadratiske ligninger korrekt.