En rationel funktion er en ligning, der har formen y = N (x)/D (x), hvor N og D er polynomer. Forsøg på at tegne en nøjagtig graf over en i hånden kan være en omfattende gennemgang af mange af de vigtigste matematikemner fra gymnasiet fra grundlæggende algebra til differentialregning. Overvej følgende eksempel: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Trin
Trin 1. Find y -skæringen
Sæt ganske enkelt x = 0. Alt undtagen de konstante udtryk forsvinder og efterlader y = 5/2. At udtrykke dette som et koordinatpar, (0, 5/2) er et punkt på grafen. Graf det punkt.
Trin 2. Find den vandrette asymptote
Del lang nævner i tælleren for at bestemme adfærden for y for store absolutte værdier på x. I dette eksempel viser division, at y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). For store positive eller negative værdier på x nærmer sig 17/(8 x + 4) nul, og grafen tilnærmer linjen y = (1/2) x - (7/4). Brug en stiplet eller let tegnet linje til at tegne denne linje.
- Hvis tællergraden er mindre end nævnergraden, er der ingen division at gøre, og asymptoten er y = 0.
- Hvis deg (N) = deg (D), er asymptoten en vandret linje i forholdet mellem de ledende koefficienter.
- Hvis deg (N) = deg (D) + 1, er asymptoten en linje, hvis hældning er forholdet mellem de ledende koefficienter.
- Hvis deg (N)> deg (D) + 1, så for store værdier af | x |, y går hurtigt til positiv eller negativ uendelighed som et kvadratisk, kubisk eller højere grad polynom. I dette tilfælde er det sandsynligvis ikke umagen værd at nøjagtigt tegne kvotienten for divisionen.
Trin 3. Find nullerne
En rationel funktion har et nul, når tælleren er nul, så sæt N (x) = 0. I eksemplet er 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Diskriminanten af denne kvadratisk er b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Da diskriminanten er negativ, har N (x) og følgelig f (x) ingen reelle rødder. Grafen krydser aldrig x -aksen. Hvis der blev fundet nuller, tilføj disse punkter til grafen.
Trin 4. Find de lodrette asymptoter
En lodret asymptote opstår, når nævneren er nul. Indstilling 4 x + 2 = 0 giver den lodrette linje x = -1/2. Graf hver lodret asymptote med en lys eller stiplet linje. Hvis en værdi af x gør både N (x) = 0 og D (x) = 0, er der muligvis ikke en lodret asymptote der. Dette er sjældent, men se tipsene til, hvordan du håndterer det, hvis det opstår.
Trin 5. Se på resten af divisionen i trin 2
Hvornår er det positivt, negativt eller nul? I eksemplet er tælleren for resten 17, hvilket altid er positivt. Nævneren, 4 x + 2, er positiv til højre for den lodrette asymptote og negativ til venstre. Det betyder, at grafen nærmer sig den lineære asymptote fra ovenstående for store positive værdier af x og nedenunder for store negative værdier af x. Da 17/(8 x + 4) aldrig kan være nul, skærer denne graf aldrig linjen y = (1/2) x - (7/4). Tilføj ikke noget til grafen lige nu, men bemærk disse konklusioner til senere.
Trin 6. Find det lokale ekstrema
Et lokalt ekstremum kan forekomme, når N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. I eksemplet er N '(x) = 4 x - 6 og D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Udvidelse, kombination af udtryk og dividering med 4 blade x 2 + x - 4 = 0. Den kvadratiske formel viser rødder nær x = 3/2 og x = -5/2. (Disse adskiller sig med cirka 0,06 fra de nøjagtige værdier, men vores graf vil ikke være præcis nok til at bekymre sig om det detaljeringsniveau. At vælge en anstændig rationel tilnærmelse gør det næste trin lettere.)
Trin 7. Find y -værdierne for hver lokal ekstremum
Sæt x -værdierne fra det foregående trin tilbage i den oprindelige rationelle funktion for at finde de tilsvarende y -værdier. I eksemplet er f (3/2) = 1/16 og f (-5/2) = -65/16. Tilføj disse punkter (3/2, 1/16) og (-5/2, -65/16) til grafen. Da vi tilnærmede os i det foregående trin, er disse ikke de nøjagtige minima og maksima, men er sandsynligvis tæt på. (Vi ved (3/2, 1/16) er meget tæt på det lokale minimum. Fra trin 3 ved vi, at y altid er positiv, når x> -1/2, og vi fandt en værdi så lille som 1/16, så i hvert fald i dette tilfælde er fejlen sandsynligvis mindre end linjens tykkelse.)
Trin 8. Tilslut prikkerne og udvid diagrammet jævnt fra de kendte punkter til asymptoterne, og sørg for at nærme dem fra den korrekte retning
Pas på ikke at krydse x -aksen undtagen på de punkter, der allerede findes i trin 3. Kryds ikke den vandrette eller lineære asymptote, undtagen på de punkter, der allerede findes i trin 5. Skift ikke fra opadgående til nedadgående skråning undtagen ved det ekstreme fundet i det foregående trin.
Video - Ved at bruge denne service kan nogle oplysninger blive delt med YouTube
Tips
- Nogle af disse trin kan indebære løsning af et polynom i høj grad. Hvis du ikke kan finde nøjagtige løsninger gennem faktorisering, formler eller andre midler, skal du estimere løsningerne ved hjælp af numeriske teknikker som Newtons metode.
- Hvis du følger trinene i rækkefølge, er det normalt ikke nødvendigt at bruge anden afledte test eller lignende potentielt komplicerede metoder til at afgøre, om de kritiske værdier er lokale maksima, lokale minima eller ingen af dem. Prøv at bruge oplysningerne fra tidligere trin og lidt logik først.
- Hvis du prøver at gøre dette med kun precalculus -metoder, kan du erstatte trinene om at finde det lokale ekstrema ved at beregne flere yderligere (x, y) ordnede par mellem hvert par asymptoter. Alternativt, hvis du er ligeglad med, hvorfor det virker, er der ingen grund til, at en precalculus -elev ikke kan tage derivatet af et polynom og løse N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
I sjældne tilfælde kan tæller og nævner have en fælles ikke -konstant faktor. Hvis du følger trinene, vises dette som et nul og en lodret asymptote samme sted. Det er umuligt, og det, der rent faktisk sker, er et af følgende:
- Nulværdien i N (x) har større multiplikation end nul i D (x). Grafen for f (x) nærmer sig nul på dette tidspunkt, men er udefineret der. Angiv dette med en åben cirkel omkring punktet.
- Nulpunktet i N (x) og nul i D (x) har samme multiplicitet. Grafen nærmer sig et ikke-nulpunkt for denne værdi af x, men er udefineret der. Angiv dette igen med en åben cirkel.
- Nulpunktet i N (x) har lavere multiplicitet end nul i D (x). Der er en lodret asymptote her.
