En parabel er en graf over en kvadratisk funktion, og det er en glat "U" -formet kurve. Paraboler er også symmetriske, hvilket betyder, at de kan foldes langs en linje, så alle punkterne på den ene side af foldelinjen falder sammen med de tilsvarende punkter på den anden side af foldelinjen. Foldelinjen, kaldet symmetriaksen, er den lodrette linje, der går gennem verex. Ethvert punkt på parabolen er lige langt fra et fast punkt (fokus) og en fast lige linje (directrix). For at tegne en parabel, skal du finde dens toppunkt samt flere punkter på hver side af toppunktet for at markere den sti, som punkterne bevæger sig.
Trin
Del 1 af 2: Tegning af en parabel
Trin 1. Forstå delene af en parabel
Du får muligvis visse oplysninger inden begyndelsen, og kendskab til terminologien hjælper dig med at undgå unødvendige trin. Her er de dele af parabolen, du skal vide:
- Fokus. Et fast punkt på det indre af parabolen, der bruges til den formelle definition af kurven.
- Directrix. En fast, lige linje. Parabolen er locus (serie) af punkter, hvor et givet punkt er lige langt fra fokus og directrix. (Se diagrammet ovenfor.)
- Symmetriaksen. Dette er en lige linje, der passerer gennem parabelens vendepunkt ("toppunkt") og er lige langt fra tilsvarende punkter på parabelens to arme.
- Toppunktet. Det punkt, hvor symmetriaksen krydser parabolen, kaldes parabelens toppunkt. Hvis parabolen åbner opad eller til højre, er toppunktet et minimumspunkt i kurven. Hvis den åbner nedad eller til venstre, er toppunktet et maksimumspunkt.
Trin 2. Kend ligningen af en parabel
Den generelle ligning for en parabel er y = ax2+ bx + c. Det kan også skrives i den endnu mere generelle form y = a (x - h) ² + k, men vi vil her fokusere på den første form af ligningen.
- Hvis koefficienten a i ligningen er positiv, åbner parabolen opad (i en lodret orienteret parabel), ligesom bogstavet "U", og dens toppunkt er et minimumspunkt. Hvis a er negativ, åbner parabolen nedad og har et toppunkt ved sit maksimale punkt. Hvis du har problemer med at huske dette, skal du tænke på det på denne måde: En ligning med en positiv værdi ligner et smil; en ligning med en negativ en værdi ligner en rynke.
- Lad os sige, at du har følgende ligning: y = 2x2 -1. Denne parabel vil blive formet som et "U", fordi a -værdien (2) er positiv.
- Hvis ligningen har et kvadratisk y -udtryk i stedet for et kvadratisk x -udtryk, vil parabolen orienteres vandret og åbne sidelæns, til højre eller venstre, som et "C" eller et bagud "C." For eksempel parabolen y2 = x + 3 åbnes til højre som et "C."
Trin 3. Find symmetriaksen
Husk, at symmetriaksen er den lige linje, der passerer gennem parabelens vendepunkt (toppunkt). I tilfælde af en lodret parabel (åbning op eller ned) er aksen den samme som x-koordinaten for toppunktet, som er x-værdien af det punkt, hvor symmetriaksen krydser parabolen. For at finde symmetriaksen skal du bruge denne formel: x = -b/2a.
- I ovenstående eksempel (y = 2x² -1), a = 2 og b = 0. Nu kan du beregne symmetriaksen ved at tilslutte tallene: x = -0 / (2) (2) = 0.
- I dette tilfælde er symmetriaksen x = 0 (hvilket er koordinatplanets y-akse).
Trin 4. Find toppunktet
Når du kender symmetriaksen, kan du tilslutte værdien til x for at få y -koordinaten. Disse to koordinater giver dig parabelens toppunkt. I dette tilfælde vil du tilslutte 0 til 2x2 -1 for at få y -koordinaten. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Toppunktet er (0, -1), og parabolen krydser y -aksen ved -1.
Koordinaterne for toppunktet er undertiden kendt som (h, k). I dette tilfælde er h 0, og k er -1. Ligningen for parabolen kan skrives i formen y = a (x - h) ² + k. I denne form er toppunktet punktet (h, k), og du behøver ikke at lave nogen matematik for at finde toppunktet ud over at tolke grafen korrekt
Trin 5. Opstil en tabel med valgte værdier på x
Opret en tabel med særlige værdier af x i den første kolonne. Denne tabel giver dig de koordinater, du har brug for til at tegne ligningen.
- Den midterste værdi af x skal være symmetriaksen i tilfælde af en "lodret" parabel.
- Du bør medtage mindst to værdier over og under middelværdien for x i tabellen af hensyn til symmetrien.
- I dette eksempel skal du sætte værdien af symmetriaksen (x = 0) i midten af tabellen.
Trin 6. Beregn værdierne for de tilsvarende y-koordinater
Erstat hver værdi af x i parabelens ligning, og bereg de tilsvarende værdier af y. Indsæt disse beregnede værdier af y i tabellen. I dette eksempel beregnes værdierne af y som følger:
- For x = -2 beregnes y som: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- For x = -1 beregnes y som: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- For x = 0 beregnes y som: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- For x = 1 beregnes y som: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- For x = 2 beregnes y som: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Trin 7. Indsæt de beregnede værdier af y i tabellen
Nu hvor du har fundet mindst fem koordinatpar til parabolen, er du næsten klar til at tegne den. Baseret på dit arbejde har du nu følgende punkter: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Husk, at parabolen reflekteres (symmetrisk) i forhold til symmetriaksen. Det betyder, at y -koordinaterne for punkter direkte på tværs af symmetriaksen fra hinanden vil være de samme. Y-koordinaterne for x-koordinaterne -2 og +2 er begge 7; y-koordinaterne for x-koordinaterne -1 og +1 er begge 1 osv.
Trin 8. Plot tabelpunkterne på koordinatplanet
Hver række i tabellen danner et koordinatpar (x, y) på koordinatplanet. Graf alle punkter ved hjælp af koordinaterne i tabellen.
- X-aksen er vandret; y-aksen er lodret.
- De positive tal på y-aksen er over punktet (0, 0), og de negative tal på y-aksen er under punktet (0, 0).
- De positive tal på x-aksen er til højre for punktet (0, 0), og de negative tal på x-aksen er til venstre for punktet (0, 0).
Trin 9. Forbind punkterne
For at tegne parablen skal du forbinde de punkter, der er afbildet i det foregående trin. Grafen i dette eksempel vil ligne et U. Tilslut punkterne ved hjælp af let buede (snarere end lige) linjer. Dette vil skabe det mest nøjagtige billede af parabolen (som er mindst svagt buet i hele dens længde). I begge ender af parabolen kan du tegne pile, der peger væk fra toppunktet, hvis du vil. Dette vil indikere, at parabolen fortsætter på ubestemt tid.
Del 2 af 2: Ændring af en parabols graf
Hvis du vil have en genvej til at flytte en parabel uden at skulle finde dens toppunkt igen og plotte flere punkter på den igen, skal du forstå, hvordan du læser ligningen for en parabel og lære at flytte den lodret eller vandret. Start med den grundlæggende parabel: y = x2. Dette har sit toppunkt ved (0, 0) og åbner opad. Punkter på den inkluderer (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) og (2, 4). Du kan flytte en parabel baseret på ligningen.
Trin 1. Skift en parabel opad
Overvej ligningen y = x2 +1. Dette forskyder den originale parabel 1 enhed opad. Toppunktet er nu (0, 1) i stedet for (0, 0). Den bevarer den nøjagtige form på den originale parabel, men hver y-koordinat flyttes 1 enhed opad. Så i stedet for (-1, 1) og (1, 1) plotter vi (-1, 2) og (1, 2).
Trin 2. Skift en parabel nedad
Tag ligningen y = x2 -1. Vi flytter den originale parabel nedad 1 enhed, så toppunktet nu er (0, -1) i stedet for (0, 0). Det vil stadig have den samme form som den originale parabel, men hver y-koordinat vil blive forskudt 1 enhed nedad. Så i stedet for (-1, 1) og (1, 1) plotter vi for eksempel (-1, 0) og (1, 0).
Trin 3. Skift en parabel til venstre
Overvej ligningen y = (x + 1)2. Dette forskyder den originale parabel en enhed til venstre. Toppunktet er nu (-1, 0) i stedet for (0, 0). Den bevarer formen på den originale parabel, men hver x-koordinat flyttes til den ene enhed til venstre. I stedet for (-1, 1) og (1, 1) plotter vi for eksempel (-2, 1) og (0, 1).
Trin 4. Skift en parabel til højre
Overvej ligningen y = (x - 1)2. Dette er den originale parabel, der flyttede en enhed til højre. Toppunktet er nu (1, 0) i stedet for (0, 0). Den bevarer formen på den originale parabel, men hver x-koordinat flyttes til den rigtige enhed. I stedet for (-1, 1) og (1, 1) plotter vi for eksempel (0, 1) og (2, 1).
